integral0^1 e^arcsen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 e^arcsenx,dx
O conteúdo principal é mudança de variável para eliminar o arcsen, seguido de integração de uma função do tipo e^tcos t.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = arcsenx Longrightarrow x = sen t, dx = cos t,dt
Quando x=0, temos t=0; quando x=1, temos t=pi/2. Assim a integral vira
integral0^1 e^arcsenx,dx =integral0^pi/2 e^tcos t,dt

Passo 3

Para calcular
integral e^tcos t,dt
usamos dois ciclos de integração por partes. Seja
I=integral e^tcos t,dt
Tomando u=e^t, dv=cos t,dt
I =e^tsen t -integral e^tsen t,dt
Agora integramos integral e^tsen t,dt por partes escolhendo u=e^t, dv=sen t,dt, obtendo
integral e^tsen t,dt =-e^tcos t +integral e^tcos t,dt =-e^tcos t +I
Substituindo de volta em I resulta
I = e^tsen t -l(-e^tcos t +Ir) = e^t(sen t +cos t)-I
Longrightarrow 2I = e^t(sen t +cos t) Longrightarrow I = tfrac12,e^t(sen t +cos t)

Passo 4

Voltando à integral com limites, temos
integral0^pi/2 e^tcos t,dt =l[tfrac12 e^t(sen t +cos t)r]0^pi/2 =tfrac12l(e^pi/2(1+0)-e^0(0+1)r)
=tfrac12l(e^pi/2-1r)

Resposta

integral0^1 e^arcsenx,dx =e^pi/2-12

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