integral5 / 3^7 / 3 d xraiz4-9(x-2)^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral5/3^7/3dxraiz4-9(x-2)^2
O conteúdo aqui é a integral de uma função do tipo 1raiza^2-w^2, que leva a arcoseno. Vamos usar duas mudanças de variável e a fórmula fundamental
integraldvraiz1-v^2=arcsin(v)+C

Passo 2

Fazemos a primeira substituição para centrar o quadrado:
u = x-2, du = dx
Quando x=5/3, u=5/3-2=-1/3; quando x=7/3, u=7/3-2=1/3. A integral vira
integral-1/3^1/3duraiz4-9u^2

Passo 3

Fatoramos o 9 dentro da raiz para deixar no formato raiz1-v^2:
raiz4-9u^2=2raiz1-l(tfrac3u2r)^2
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integral-1/3^1/3duraiz4-9u^2 =integral-1/3^1/3du2raiz1-(tfrac3u2)^2 =12integral-1/3^1/3duraiz1-(tfrac3u2)^2

Passo 4

Agora fazemos v=tfrac3u2, de onde dv=tfrac32du ou du=tfrac23dv. Os limites em v ficam:
quando u=-1/3, v=-tfrac12;
quando u=1/3, v=tfrac12.
Substituindo:
12integral-1/3^1/3duraiz1-(tfrac3u2)^2 =12integral-12^12tfrac23,dvraiz1-v^2 =13integral-12^12dvraiz1-v^2

Passo 5

Usando a fórmula do arcoseno:
integral-12^12dvraiz1-v^2 =l[arcsin(v)r]-12^12 =arcsinl(tfrac12r)-arcsinl(-tfrac12r) =pi6-l(-pi6r) =pi3
Multiplicando pelo fator externo 1/3
13cdotpi3=pi9

Resposta

pi9

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