Passo 1
O enunciado pede
Este é um limite do tipo “infinito sobre infinito”, e podemos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
e e
são diferenciáveis perto de
, então
e
desde que este último exista.
Passo 2
Verificamos o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto temos a forma, e a Regra de L’Hôpital é aplicável.
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
- Derivada do numerador
é
- Derivada do denominador
é .
Logo o limite original passa a ser
Passo 4
Como
e
quando
, segue que
Portanto