lim x +infty raiz[3]x+1-1x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyraiz[3]x+1-1x
Este é um limite do tipo “infinito sobre infinito”, e podemos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
limxto af(x)=limxto ag(x)=pminfty
e f e g são diferenciáveis perto de a, então
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x),
desde que este último exista.

Passo 2

Verificamos o comportamento das funções no numerador e no denominador quando xto+infty:
  • Numerador: raiz[3]x+1-1sim(x+1)^1/3to+infty.
  • Denominador: xto+infty.
    Portanto temos a forma tfracinftyinfty, e a Regra de L’Hôpital é aplicável.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
  • Derivada do numerador f(x)=raiz[3]x+1-1 é
f'(x) =13(x+1)^-tfrac23
  • Derivada do denominador g(x)=x é g'(x)=1.
    Logo o limite original passa a ser
limxto+inftyf'(x)g'(x) =limxto+inftytfrac13(x+1)^-tfrac231 =13limxto+infty(x+1)^-tfrac23

Passo 4

Como (x+1)^-tfrac23=1/(x+1)^2/3 e (x+1)^2/3to+infty quando xto+infty, segue que
limxto+infty(x+1)^-tfrac23=0
Portanto
13limxto+infty(x+1)^-tfrac23=0

Resposta

0

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