Sejam
f(x, y)=rrl x+y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
e
g(x, y)= 1+x^2, & se x neq 0, y=0 1+y^2, & se y neq 0, x=0 0, & se (x, y) neq(0,0)
(a) Calcule as derivadas parciais de f e g em (0,0).
(b) feg são contínuas em (0,0) ? Justifique.
(c) As derivadas parciais de f e g são contínuas em (0,0) ? Eem(x, y) neq(0,0) ? Justifique.
(d) partial fpartial x(0,1) existe? partial fpartial y(1,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos duas funções, f(x, y) e g(x, y) , definidas de maneiras diferentes dependendo dos valores de x e y . A gente vai trabalhar com derivadas parciais, continuidade dessas funções e verificar se as derivadas parciais são contínuas no ponto (0,0) . Além disso, vamos ver se as derivadas de f existem em pontos específicos. Para isso, vamos precisar entender bem o que são derivadas parciais e continuidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Parte (a): Calcular as derivadas parciais de f e g em (0,0)

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f e g no ponto (0,0) . Lembra que a derivada parcial em relação a x em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando só x varia, e o mesmo vale para y .

Derivada parcial de f em (0,0) em relação a x

A derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é definida como:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Sabemos que f(0,0) = 0 . Vamos calcular f(h, 0) :
f(h, 0) = h + 0^4h^2 + 0^2 = hh^2 = 1h
Então:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 1h - 0h = limh to 0 1h^2
Esse limite tende ao infinito, o que significa que a derivada parcial de f em relação a x em (0,0) não existe.

Derivada parcial de g em (0,0) em relação a x

Agora, vamos para g . A derivada parcial de g em relação a x no ponto (0,0) é:
partial gpartial x(0,0) = limh to 0 g(h, 0) - g(0,0)h
Sabemos que g(0,0) = 0 e, para y = 0 e x neq 0 :
g(h, 0) = 1 + h^2
Então:
partial gpartial x(0,0) = limh to 0 1 + h^2 - 0h = limh to 0 ( 1h + h )
Esse limite também não existe porque 1h tende ao infinito quando h se aproxima de 0.

Derivada parcial de g em (0,0) em relação a y

De forma semelhante:
partial gpartial y(0,0) = limk to 0 g(0, k) - g(0,0)k
Para x = 0 e y neq 0 :
g(0, k) = 1 + k^2
Então:
partial gpartial y(0,0) = limk to 0 1 + k^2 - 0k = limk to 0 ( 1k + k )
Também aqui, o limite não existe por causa do termo 1k .

Passo 3

Parte (b): f e g são contínuas em (0,0) ? Justifique.

Agora, vamos verificar se as funções f e g são contínuas no ponto (0,0) .

Continuidade de f em (0,0)

Para f ser contínua em (0,0) , o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) deve ser igual a f(0,0) .
Vamos calcular:
lim(x,y) to (0,0) x + y^4x^2 + y^2
Podemos tentar diferentes caminhos:
  1. Caminho y = 0 :
limx to 0 x + 0x^2 + 0 = limx to 0 xx^2 = limx to 0 1x to infty
  1. Caminho x = 0 :
limy to 0 0 + y^40 + y^2 = limy to 0 y^2 = 0
Como os limites pelo caminho y = 0 e x = 0 são diferentes, o limite geral não existe. Portanto, f não é contínua em (0,0) .

Continuidade de g em (0,0)

Para g :
lim(x,y) to (0,0) g(x,y)
Analisando as definições:
  • Se x neq 0 e y = 0 , g(x,0) = 1 + x^2 to 1 quando x to 0 .
  • Se y neq 0 e x = 0 , g(0,y) = 1 + y^2 to 1 quando y to 0 .
  • Para outros casos ( (x,y) neq (0,0) ), g(x,y) = 0 .
Então, se nos aproximarmos de (0,0) por y = 0 ou x = 0 , o limite é 1, mas se nos aproximarmos por outro caminho, como y = x , g(x,x) = 0 . Como os limites são diferentes, o limite geral não existe. Portanto, g não é contínua em (0,0) .

Passo 4

Parte (c): As derivadas parciais de f e g são contínuas em (0,0) ?

Vamos verificar agora se as derivadas parciais que calculamos são contínuas em (0,0) e para (x,y) neq (0,0) .

Derivadas parciais de f

Já vimos que as derivadas parciais de f em (0,0) não existem. Então, não faz sentido falar em continuidade das derivadas nesse ponto.
Para (x,y) neq (0,0) , podemos calcular as derivadas parciais de f normalmente:
f(x,y) = x + y^4x^2 + y^2
As derivadas parciais envolvem a aplicação das regras de derivação para funções de duas variáveis, mas já sabemos que no ponto (0,0) as derivadas não existem, portanto, não são contínuas ali.

Derivadas parciais de g

Vimos que as derivadas parciais de g em (0,0) não existem. Além disso, para (x,y) neq (0,0) , as derivadas parciais podem ser calculadas a partir das diferentes definições de g(x,y) .
Por exemplo:
  • Se y = 0 e x neq 0 , g(x,0) = 1 + x^2 , então:
partial gpartial x = 2x e partial gpartial y = 0
  • Se x = 0 e y neq 0 , g(0,y) = 1 + y^2 , então:
partial gpartial y = 2y e partial gpartial x = 0
Fora esses casos, g(x,y) = 0 , então ambas as derivadas parciais são zero.
No entanto, como as derivadas parciais não existem em (0,0) e temos diferentes expressões fora desse ponto, elas não são contínuas em (0,0) .

Passo 5

Parte (d): partial fpartial x(0,1) e partial fpartial y(1,0) existem?

Vamos verificar a existência das derivadas parciais de f nos pontos (0,1) e (1,0) .

Derivada parcial de f em (0,1) em relação a x

Primeiro, calculamos partial fpartial x(0,1) .
Para (x,y) neq (0,0) :
f(x,y) = x + y^4x^2 + y^2
A derivada parcial em relação a x é:
partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - (x + y^4)(2x)(x^2 + y^2)^2
Simplificando em (0,1) :
partial fpartial x(0,1) = 1 cdot (0 + 1) - (0 + 1) cdot 0(0 + 1)^2 = 1 - 01 = 1
Portanto, partial fpartial x(0,1) = 1 existe.

Derivada parcial de f em (1,0) em relação a y

Agora, vamos calcular partial fpartial y(1,0) .
A derivada parcial em relação a y é:
partial fpartial y = (4y^3)(x^2 + y^2) - (x + y^4)(2y)(x^2 + y^2)^2
Simplificando em (1,0) :
partial fpartial y(1,0) = 0 cdot (1 + 0) - (1 + 0) cdot 0(1 + 0)^2 = 0 - 01 = 0
Portanto, partial fpartial y(1,0) = 0 existe.

Resposta

(a) As derivadas parciais de f e g em (0,0) não existem.
(b) As funções f e g não são contínuas em (0,0) .
(c) As derivadas parciais de f e g não são contínuas em (0,0) .
(d) Sim, partial fpartial x(0,1) = 1 e partial fpartial y(1,0) = 0 existem.

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