g(x, y)= 1+x^2, & se x neq 0, y=0 1+y^2, & se y neq 0, x=0 0, & se (x, y) neq(0,0)
(a) Calcule as derivadas parciais de f e g em (0,0).
(b) feg são contínuas em (0,0) ? Justifique.
(c) As derivadas parciais de f e g são contínuas em (0,0) ? Eem(x, y) neq(0,0) ? Justifique.
(d) partial fpartial x(0,1) existe? partial fpartial y(1,0) ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos duas funções, f(x, y) e g(x, y) , definidas de maneiras diferentes dependendo dos valores de x e y . A gente vai trabalhar com derivadas parciais, continuidade dessas funções e verificar se as derivadas parciais são contínuas no ponto (0,0) . Além disso, vamos ver se as derivadas de f existem em pontos específicos. Para isso, vamos precisar entender bem o que são derivadas parciais e continuidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Parte (a): Calcular as derivadas parciais de f e g em (0,0)
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f e g no ponto (0,0) . Lembra que a derivada parcial em relação a x em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando só x varia, e o mesmo vale para y .
Derivada parcial de f em (0,0) em relação a x
A derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é definida como:
partial gpartial y(0,0) = limk to 0 1 + k^2 - 0k = limk to 0 ( 1k + k )
Também aqui, o limite não existe por causa do termo 1k .
Passo 3
Parte (b): f e g são contínuas em (0,0) ? Justifique.
Agora, vamos verificar se as funções f e g são contínuas no ponto (0,0) .
Continuidade de f em (0,0)
Para f ser contínua em (0,0) , o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) deve ser igual a f(0,0) .
Vamos calcular:
lim(x,y) to (0,0) x + y^4x^2 + y^2
Podemos tentar diferentes caminhos:
Caminho y = 0 :
limx to 0 x + 0x^2 + 0 = limx to 0 xx^2 = limx to 0 1x to infty
Caminho x = 0 :
limy to 0 0 + y^40 + y^2 = limy to 0 y^2 = 0
Como os limites pelo caminho y = 0 e x = 0 são diferentes, o limite geral não existe. Portanto, f não é contínua em (0,0) .
Continuidade de g em (0,0)
Para g :
lim(x,y) to (0,0) g(x,y)
Analisando as definições:
Se x neq 0 e y = 0 , g(x,0) = 1 + x^2 to 1 quando x to 0 .
Se y neq 0 e x = 0 , g(0,y) = 1 + y^2 to 1 quando y to 0 .
Para outros casos ( (x,y) neq (0,0) ), g(x,y) = 0 .
Então, se nos aproximarmos de (0,0) por y = 0 ou x = 0 , o limite é 1, mas se nos aproximarmos por outro caminho, como y = x , g(x,x) = 0 . Como os limites são diferentes, o limite geral não existe. Portanto, g não é contínua em (0,0) .
Passo 4
Parte (c): As derivadas parciais de f e g são contínuas em (0,0) ?
Vamos verificar agora se as derivadas parciais que calculamos são contínuas em (0,0) e para (x,y) neq (0,0) .
Derivadas parciais de f
Já vimos que as derivadas parciais de f em (0,0) não existem. Então, não faz sentido falar em continuidade das derivadas nesse ponto.
Para (x,y) neq (0,0) , podemos calcular as derivadas parciais de f normalmente:
f(x,y) = x + y^4x^2 + y^2
As derivadas parciais envolvem a aplicação das regras de derivação para funções de duas variáveis, mas já sabemos que no ponto (0,0) as derivadas não existem, portanto, não são contínuas ali.
Derivadas parciais de g
Vimos que as derivadas parciais de g em (0,0) não existem. Além disso, para (x,y) neq (0,0) , as derivadas parciais podem ser calculadas a partir das diferentes definições de g(x,y) .
Por exemplo:
Se y = 0 e x neq 0 , g(x,0) = 1 + x^2 , então:
partial gpartial x = 2x e partial gpartial y = 0
Se x = 0 e y neq 0 , g(0,y) = 1 + y^2 , então:
partial gpartial y = 2y e partial gpartial x = 0
Fora esses casos, g(x,y) = 0 , então ambas as derivadas parciais são zero.
No entanto, como as derivadas parciais não existem em (0,0) e temos diferentes expressões fora desse ponto, elas não são contínuas em (0,0) .
Passo 5
Parte (d): partial fpartial x(0,1) e partial fpartial y(1,0) existem?
Vamos verificar a existência das derivadas parciais de f nos pontos (0,1) e (1,0) .