Resolva o seguinte PVI:
y^prime=pix y-x^2, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
y'=pix,y - x^2, y(1)=1
Trata-se de uma equação de primeira ordem não separável diretamente em x e y. Para contornar isso, vamos inverter a relação e tratar x como função de y, o que leva a uma equação de Bernoulli em x(y).

Passo 2

Invertendo a derivada, obtemos
dxdy=x,y - x^2pi =ypi,x - 1pi,x^2
Esta é uma equação de Bernoulli no formato
dxdy-ypi,x=-1pi,x^2,
com expoente n=2.

Passo 3

Fazemos a substituição padrão de Bernoulli
z = x^1-n=x^-1,
de modo que
dzdy=-1x^2,dxdy
Substituindo tfracdxdy da equação original, obtemos a equação linear em z:
dzdy + ypi,z = 1pi

Passo 4

O fator integrante é
mu(y)=exp!l(integralypi,dyr) =exp!l(tfracy^22pir)
Multiplicando a equação em z por mu(y) e integrando em y, segue
ddyl(z,e^y^2/(2pi)r) =1pi,e^y^2/(2pi),
z,e^y^2/(2pi) =1piintegral e^t^2/(2pi),dt + C

Passo 5

Para impor a condição inicial, note que em y=1 temos x(1)=1, logo z(1)=1. Integramos de 1 até y, obtendo
z(y),e^y^2/(2pi) =1piintegral1^ye^t^2/(2pi),dt + z(1),e^1/(2pi),
z(y),e^y^2/(2pi) =1piintegral1^ye^t^2/(2pi),dt + e^1/(2pi)

Passo 6

Voltando a x, como z=1/x, a solução implícita fica
1x(y) = e^-y^2/(2pi)l(1piintegral1^ye^t^2/(2pi),dt + e^1/(2pi)r),
ou equivalentemente
e^y^2/(2pi)x = e^1/(2pi) + 1piintegral1^ye^t^2/(2pi),dt

Resposta

e^y^2/(2pi)x = e^1/(2pi) + 1piintegral1^ye^t^2/(2pi),dt,
que com y(1)=1 é a solução implícita do PVI.

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