Resolva o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
Trata-se de uma equação de primeira ordem não separável diretamente em
e
. Para contornar isso, vamos inverter a relação e tratar
como função de
, o que leva a uma equação de Bernoulli em
.
Passo 2
Invertendo a derivada, obtemos
Esta é uma equação de Bernoulli no formato
com expoente
.
Passo 3
Fazemos a substituição padrão de Bernoulli
de modo que
Substituindo
da equação original, obtemos a equação linear em
:
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação em
por
e integrando em
, segue
Passo 5
Para impor a condição inicial, note que em
temos
, logo
. Integramos de
até
, obtendo
Passo 6
Voltando a
, como
, a solução implícita fica
ou equivalentemente
Resposta
que com
é a solução implícita do PVI.