Seja .
Seja a curva obtida como interseção da superfície com o plano . Calcule especificando uma orientação para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e uma curva que é a interseção da superfície com o plano . Queremos calcular a integral de linha . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é onde o paraboloide corta o plano . Para achar essa curva, substituímos na equação do paraboloide:
Então, a curva está definida por e . Isso descreve uma parábola no espaço.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva [C). Como é constante , podemos usar como parâmetro. Então, escolhemos um parâmetro para representar . Assim, a parametrização fica:
Onde (já que na definição da superfície). Vamos encontrar esses limites depois.
Passo 4
Vamos encontrar os limites de t para garantir que z >= -4:
5 - t^2 >= -4 -t^2 >= -9 t^2 <= 9 -3 <= t <= 3
Então, nosso parâmetro t vai de -3 a 3.
Passo 5
Com a parametrização definida, vamos calcular o vetor diferencial dr. Derivando as componentes em relação a t:
dxdt = 1 dydt = 0 dzdt = -2t
Então,
dr = (1, dt,, 0, dt,, -2t, dt)
Passo 6
Agora, vamos substituir a parametrização na função F: