Seja F(x, y, z)=(2 x z+y^2, 2 x y+3 y^2, e^z+x^2).
Seja C a curva obtida como interseção da superfície z=9-x^2-y^2, z >=-4 com o plano y=2. Calcule integralC F cdot d r especificando uma orientação para C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = (2xz + y^2, 2xy + 3y^2, e^z + x^2) e uma curva C que é a interseção da superfície z = 9 - x^2 - y^2 com o plano y = 2. Queremos calcular a integral de linha integralC F cdot dr. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é onde o paraboloide z = 9 - x^2 - y^2 corta o plano y = 2. Para achar essa curva, substituímos y = 2 na equação do paraboloide:
z = 9 - x^2 - (2)^2 = 9 - x^2 - 4 = 5 - x^2
Então, a curva C está definida por y = 2 e z = 5 - x^2. Isso descreve uma parábola no espaço.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva [C). Como é constante , podemos usar como parâmetro. Então, escolhemos um parâmetro para representar . Assim, a parametrização fica:
Onde (já que na definição da superfície). Vamos encontrar esses limites depois.

Passo 4

Vamos encontrar os limites de t para garantir que z >= -4:
5 - t^2 >= -4 -t^2 >= -9 t^2 <= 9 -3 <= t <= 3
Então, nosso parâmetro t vai de -3 a 3.

Passo 5

Com a parametrização definida, vamos calcular o vetor diferencial dr. Derivando as componentes em relação a t:
dxdt = 1 dydt = 0 dzdt = -2t
Então,
dr = (1, dt,, 0, dt,, -2t, dt)

Passo 6

Agora, vamos substituir a parametrização na função F:
F(t) = (2t(5 - t^2) + (2)^2,, 2t(2) + 3(2)^2,, e^5 - t^2 + t^2)
Simplificando cada componente:
F(t) = (10t - 2t^3 + 4,, 4t + 12,, e^5 - t^2 + t^2)

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar F(t) cdot dr:
(10t - 2t^3 + 4)(1) + (4t + 12)(0) + (e^5 - t^2 + t^2)(-2t) = 10t - 2t^3 + 4 - 2t e^5 - t^2 - 2t^3
Simplificando:
10t - 4t^3 + 4 - 2t e^5 - t^2

Passo 8

Agora, precisamos integrar essa expressão de t = -3 a t = 3:
integral-3^3 (10t - 4t^3 + 4 - 2t e^5 - t^2) dt
Vamos separar a integral em partes:
integral-3^3 10t , dt - integral-3^3 4t^3 , dt + integral-3^3 4 , dt - integral-3^3 2t e^5 - t^2 , dt

Passo 9

Calculando cada integral separadamente:
  1. integral-3^3 10t , dt:
    Como a função é ímpar, essa integral é zero.
  2. integral-3^3 4t^3 , dt:
    Também uma função ímpar, integral é zero.
  3. integral-3^3 4 , dt = 4 times (3 - (-3)) = 24
  4. integral-3^3 2t e^5 - t^2 , dt:
    Fazendo substituição u = 5 - t^2, du = -2t dt. Então:
- integralu(3)^u(-3) e^u du = - [e^u]5 - 9^5 - 9 = - [e^-4 - e^-4] = 0

Passo 10

Somando todas as partes:
0 - 0 + 24 - 0 = 24

Resposta

A integral integralC F cdot dr vale 24.

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