A transferência de calor de um corpo para o ambiente que o rodeia por radição, segundo a lei de Stefan-Boltzmann
, é descrita pela equação diferencial
onde
é a temperatura absoluta do corpo no instante
é a temperatura absoluta do ambiente e
é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se
é muito maior do que
, então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
Suponha que um corpo com temperatura inicial de
está imerso em um meio à temperatura de
e que
.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de
em função de
.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de resfriamento por radiação, segundo Stefan– Boltzmann, e pede:
– (a) resolver
– (a) resolver
com condição inicial
K e
,
;
– (b) esboçar o gráfico de em função de
.
O conteúdo é a técnica de separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias.
– (b) esboçar o gráfico de
O conteúdo é a técnica de separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias.
Passo 2
Separe variáveis na equação
escrevendo
Passo 3
Integre ambos os lados:
Passo 4
Use
K para achar
:
quando ,
quando
Logo
Portanto
Passo 5
Para o gráfico de
:
– Em ,
K.
– Conforme aumenta, o termo
domina e
decresce segundo uma lei de potência
.
– Logo, o esboço é uma curva decrescente, muito íngreme no início e suavizando com o tempo, aproximando-se de zero quando .
– Em
– Conforme
– Logo, o esboço é uma curva decrescente, muito íngreme no início e suavizando com o tempo, aproximando-se de zero quando
Resposta
Gráfico qualitativo: curva decrescente de
K em
para valores menores conforme
cresce, com inclinação forte no início e amortece à medida que o corpo esfria.