A transferência de calor de um corpo para o ambiente que o rodeia por radição, segundo a lei de Stefan-Boltzmann ^6, é descrita pela equação diferencial
d ud t=-alpha(u^4-T^4)
onde u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura absoluta do ambiente e alpha é uma constante que depende dos parâmetros físicos corpo. No entanto, se u é muito maior do que T, então as soluções da Eq. (i) podem ser bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
d ud t=-alpha u^4
Suponha que um corpo com temperatura inicial de 20000^circ K está imerso em um meio à temperatura de 300^circ K e que alpha=2,0 times 10^-12 ^circ K^-3 / s.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (ii).
(b) Faça o gráfico de u em função de t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de resfriamento por radiação, segundo Stefan– Boltzmann, e pede:
– (a) resolver
dudt = -alpha cdot u^4
com condição inicial u(0) = 20000 K e alpha = 2,0 times 10^-12, K^-3/s;
– (b) esboçar o gráfico de u em função de t.
O conteúdo é a técnica de separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Separe variáveis na equação
dudt=-alpha,u^4
escrevendo
duu^4=-alpha,dt

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral duu^4=integral -alpha,dt
-,13,u^3=-alpha,t+C

Passo 4

Use u(0)=u0=20000 K para achar C:
quando t=0,
-,13,u0^3=C Longrightarrow C=-13,(20000)^3
Logo
-,13,u^3=-alpha,t -13,(20000)^3 ;Longrightarrow; 1u^3 =3,alpha,t+1(20000)^3
Portanto
u(t) =gl(3,alpha,t+1(20000)^3gr)^-!1/3

Passo 5

Para o gráfico de u(t):
– Em t=0, u=20000 K.
– Conforme t aumenta, o termo 3alpha t domina e u(t) decresce segundo uma lei de potência sim t^-1/3.
– Logo, o esboço é uma curva decrescente, muito íngreme no início e suavizando com o tempo, aproximando-se de zero quando ttoinfty.

Resposta

u(t) =gl(3,(2,0times10^-12),t+1(20000)^3gr)^-!1/3 =l(6times10^-12,t+1,25times10^-13r)^-!1/3K
Gráfico qualitativo: curva decrescente de 20000 K em t=0 para valores menores conforme t cresce, com inclinação forte no início e amortece à medida que o corpo esfria.

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