Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integração de funções racionais, especialmente usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e quebrar a fração em partes mais simples pra integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Precisamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos usar frações parciais para decompor a fração original. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos escolher valores de
que simplificam a equação. Primeiro, vamos deixar
:
Agora, vamos deixar
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Como estamos fazendo uma integral definida de 0 a
, vamos calcular os limites:
Substituindo os limites:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é:
Resposta
A integral
é igual a
.