integral0^pi d zz^2+3 z+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral0^pi dzz^2 + 3z + 2. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integração de funções racionais, especialmente usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e quebrar a fração em partes mais simples pra integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador z^2 + 3z + 2. Precisamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então, podemos escrever:
z^2 + 3z + 2 = (z + 1)(z + 2)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos usar frações parciais para decompor a fração original. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(z + 1)(z + 2) = Az + 1 + Bz + 2
Multiplicando ambos os lados por (z + 1)(z + 2) para eliminar os denominadores:
1 = A(z + 2) + B(z + 1)

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos escolher valores de z que simplificam a equação. Primeiro, vamos deixar z = -2:
1 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1) 1 = A(0) + B(-1) 1 = -B B = -1
Agora, vamos deixar z = -1:
1 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1) 1 = A(1) + B(0) 1 = A A = 1
Então, a decomposição fica:
1(z + 1)(z + 2) = 1z + 1 - 1z + 2

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1z + 1 dz - integral 1z + 2 dz = ln|z + 1| - ln|z + 2| + C
Como estamos fazendo uma integral definida de 0 a pi, vamos calcular os limites:
[ ln(z + 1) - ln(z + 2) ]0^pi
Substituindo os limites:
Para z = pi:
ln(pi + 1) - ln(pi + 2)
Para z = 0:
ln(0 + 1) - ln(0 + 2) = ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2)
Então, a diferença é:
[ ln(pi + 1) - ln(pi + 2) ] - ( -ln(2) ) = ln(pi + 1) - ln(pi + 2) + ln(2)

Resposta

A integral integral0^pi dzz^2 + 3z + 2 é igual a ln(pi + 1) - ln(pi + 2) + ln(2).

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