(Valor: 1,0 ponto) Calcule a integral integral dupla 3 x^2 y^7+cos (x+y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida dupla
integral dupla l(3x^2y^7 + cos(x+y)r),dx,dy
O conteúdo é antiderivação em duas variáveis, ou seja, achamos uma função F(x,y) tal que
partial^2 Fpartial x,partial y =3x^2y^7 + cos(x+y)
Para isso vamos fazer a primitiva em x e depois em y, lembrando que a “constante” da primeira integração pode depender do outro variável.

Passo 2

Integramos primeiro em x:
integrall(3x^2y^7 + cos(x+y)r),dx =3y^7integral x^2,dx + integralcos(x+y),dx
Calculando cada parte:
3y^7integral x^2,dx = y^7,x^3, integralcos(x+y),dx = sin(x+y)
Assim obtemos
integrall(3x^2y^7 + cos(x+y)r),dx = x^3y^7 + sin(x+y) + A(y),
onde A(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 3

Agora integramos o resultado em y:
integrall(x^3y^7 + sin(x+y) + A(y)r),dy = x^3integral y^7,dy + integralsin(x+y),dy + integral A(y),dy
Calculando cada termo:
x^3integral y^7,dy = x^3y^88, integralsin(x+y),dy = -cos(x+y), integral A(y),dy = B,
onde B é constante.

Passo 4

Combinando tudo, a antiderivada dupla é
F(x,y)=x^3y^88-cos(x+y)+C,
em que C é a constante geral de integração.

Resposta

x^3y^88-cos(x+y)+C

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