(Valor: 2,0) Determine o volume do sólido que está abaixo do gráfico de x^24+y^29+z=1 e acima do triangulo que tem vértices em (0,0),(1,0) e (0,2).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,2) no plano xy e abaixo do gráfico da superfície
x^24+y^29+z=1
O conteúdo da matéria é integral dupla para cálculo de volumes, usando
V=integral duplaD z(x,y),dA
onde z(x,y)=1-tfracx^24-tfracy^29 e D é o triângulo dado.

Passo 2

Precisamos descrever o domínio D no plano xy. A reta que une (1,0) a (0,2) tem equação
y=2-2x
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D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=2-2x

Passo 3

Montamos a integral iterada para o volume:
V=integralx=0^1integraly=0^2-2xl(1-tfracx^24-tfracy^29r),dy,dx

Passo 4

Integramos em y termo a termo:
integral0^2-2x!1,dy=2-2x, integral0^2-2x!x^24,dy=x^24(2-2x), integral0^2-2x!y^29,dy=19cdot(2-2x)^33=(2-2x)^327
Assim o integrando simplifica para
(2-2x)-x^24(2-2x)-(2-2x)^327

Passo 5

Agora integramos em x:
V=integral0^1l[(2-2x)r]dx -integral0^1x^2(2-2x)4,dx -integral0^1(2-2x)^327,dx
Calculando cada termo:
integral0^1(2-2x),dx=1, integral0^1x^2(2-2x)4,dx=124, integral0^1(2-2x)^327,dx=227
Portanto
V=1-124-227

Resposta

V=191216

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