(Valor: 2,0 ponto) Determine o volume do sólido que está abaixo do gráfico de
1 e acima do triangulo que tem vértices em
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
ou seja,
e acima do triângulo
no plano
com vértices em
,
e
.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla, usando a fórmula
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla, usando a fórmula
Passo 2
Primeiro descrevemos o triângulo
. A reta que une
a
é
Logo, em coordenadas iteradas podemos usar
Passo 3
Montamos a integral do volume:
Passo 4
Calculamos a integral interna em
. Para
temos
temos
e para
temos
temos
Assim o integrando em
fica
Passo 5
Expandindo e simplificando esse integrando obtemos
Portanto
Passo 6
Integramos termo a termo de
a
:
Resposta
O volume do sólido é