(Valor: 2,0 ponto) Determine o volume do sólido que está abaixo do gráfico de x^24+y^29+z= 1 e acima do triangulo que tem vértices em (0,0),(0,1) e (2,0).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
x^24 + y^29 + z = 1
ou seja,
z = 1 - x^24 - y^29,
e acima do triângulo T no plano xy com vértices em (0,0), (0,1) e (2,0).
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integração dupla, usando a fórmula
V = integral duplaT z,dA

Passo 2

Primeiro descrevemos o triângulo T. A reta que une (0,1) a (2,0) é
y = -tfrac12 x + 1
Logo, em coordenadas iteradas podemos usar
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 - tfrac12 x

Passo 3

Montamos a integral do volume:
V = integralx=0^2 integraly=0^,1 - tfrac12 x l(1 - tfracx^24 - tfracy^29r),dy,dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y. Para
integral0^1 - tfrac12 x!1 - tfracx^24,dy
temos
l(1 - tfracx^24r)l(1 - tfracx2r),
e para
integral0^1 - tfrac12 x!tfracy^29,dy
temos
tfrac19,l(1 - tfrac12 xr)^33 = l(1 - tfrac12 xr)^327
Assim o integrando em x fica
l(1 - tfracx^24r)l(1 - tfracx2r) ;-;l(1 - tfrac12 xr)^327

Passo 5

Expandindo e simplificando esse integrando obtemos
2627 ;-;49,x ;-;518,x^2 ;+;754,x^3
Portanto
V = integral0^2! l(tfrac2627 - tfrac49x - tfrac518x^2 + tfrac754x^3r) ,dx

Passo 6

Integramos termo a termo de 0 a 2:
V = l[tfrac2627x - tfrac49,x^22 - tfrac518,x^33 + tfrac754,x^44r]0^2 = 2227

Resposta

O volume do sólido é 2227

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