Questão 3. Considere as seguintes afirmações.
(1) Se
é uma série convergente e
é uma série divergente, então a série
é convergente.
(II) Sejam as séries
e
e
. Se
, então ambas as séries têm o mesmo comportamento…
(III) Sejam
e
sequências convergentes. Se
para todo
, então
.
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) apenas (I) é verdadeira
b) apenas (I) e (II) são verdadeiras
c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
id) apenas (I) é falsa
e) apenas (III) é falsa
f) nenhuma das alternativas anterioresResposta. A alternativa correta é a letra (d).
(1) Se
(II) Sejam as séries
(III) Sejam
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) apenas (I) é verdadeira
b) apenas (I) e (II) são verdadeiras
c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
id) apenas (I) é falsa
e) apenas (III) é falsa
f) nenhuma das alternativas anterioresResposta. A alternativa correta é a letra (d).
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre séries e limites:
(I) Se converge e
diverge, então
converge.
(II) Para séries positivas e
com
e
, elas têm o mesmo comportamento.
(III) Se e
convergem e
para todo
, então
.
O conteúdo necessário envolve testes de convergência de séries (comparação e limite) e propriedades de limites de sequências.
(I) Se
(II) Para séries positivas
(III) Se
O conteúdo necessário envolve testes de convergência de séries (comparação e limite) e propriedades de limites de sequências.
Passo 2
Analisando (I): se
converge e
diverge, então
comporta-se como
, ou seja, diverge. Por exemplo, tome
(série convergente,
) e
(série divergente, harmônica). Então
é divergente por comparação com
. Logo, (I) é falsa.
Passo 3
Analisando (II): trata-se do teste da comparação pelo limite. Se
,
e
, então
e
convergem ou divergem simultaneamente. Logo, (II) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (III): é uma propriedade básica de limites de sequências monotônicas. Se
para todo
e ambas convergem, então
Portanto, (III) é verdadeira.
Resposta
(d)