Questão 3. Considere as seguintes afirmações.
(1) Se ∑ an é uma série convergente e ∑ bn é uma série divergente, então a série ∑(an+bn) é convergente.
(II) Sejam as séries ∑n=1 an e ∑n=1 bn, an>0, bn>0 e an ≤ bn, ∀ n. Se lim n →+∞ anbn=k>0, então ambas as séries têm o mesmo comportamento…
(III) Sejam (xn)n ∈ N e (yn)n ∈ N sequências convergentes. Se xn ≤ yn para todo n ∈ N, então lim n → ∞ xn ≤ lim n → ∞ yn.
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) apenas (I) é verdadeira
b) apenas (I) e (II) são verdadeiras
c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
id) apenas (I) é falsa
e) apenas (III) é falsa
f) nenhuma das alternativas anterioresResposta. A alternativa correta é a letra (d).

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre séries e limites:
(I) Se sum an converge e sum bn diverge, então sum (an+bn) converge.
(II) Para séries positivas sum an e sum bn com an<= bn e limntoinftyanbn=k>0, elas têm o mesmo comportamento.
(III) Se ,(xn) e ,(yn) convergem e xn<= yn para todo n, então limntoinftyxn<=limntoinftyyn.
O conteúdo necessário envolve testes de convergência de séries (comparação e limite) e propriedades de limites de sequências.

Passo 2

Analisando (I): se sum an converge e sum bn diverge, então sum (an+bn)=sum an+sum bn comporta-se como sum bn, ou seja, diverge. Por exemplo, tome an=1/n^2 (série convergente, p=2) e bn=1/n (série divergente, harmônica). Então
sum(an+bn)=suml(1n^2+1nr)
é divergente por comparação com sum 1/n. Logo, (I) é falsa.

Passo 3

Analisando (II): trata-se do teste da comparação pelo limite. Se an,bn>0, an<= bn e limntoinftyan/bn=k>0, então sum an e sum bn convergem ou divergem simultaneamente. Logo, (II) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (III): é uma propriedade básica de limites de sequências monotônicas. Se xn<= yn para todo n e ambas convergem, então
limntoinftyxn<=limntoinftyyn
Portanto, (III) é verdadeira.

Resposta

(d)

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