e responda, justificando sua resposta, os itens abaixo:
(a) Existe f(-1) ?
(b) Existe lim x -1^+ f(x) ?
(c) lim x -1^+ f(x)=f(-1) ?
(d) f é contínua em x=-1 ?
(e) Existe f(1) ?
(f) Existe lim x 1 f(x) ?
(g) lim x 1 f(x)=f(1) ?
(h) f é contínua em x=1 ?
(i) f é definida em x=2 ?
(j) f é contínua em x=2 ?
(k) f é contínua em quais valores de x ?
(l) Que valor deve ser atribuído a f(2) para tornar a função estendida contínua em x=2 ?
(m) Para que novo valor f(1) deve ser alterada para remover a descontinuidade?
Passo 1
O enunciado define uma função por partes e pede para desenhar o gráfico de f e então analisar existência de valores, limites laterais, continuidade em certos pontos e como “corrigir” as descontinuidades. O conteúdo principal é função definida por partes, limites laterais e continuidade (inclusive em extremos de intervalo).
Passo 2
Vamos esboçar cada ramo de f:
– Para -1<= x<0, f(x)=x^2-1. bul<=t Em x=-1 temos f(-1)=(-1)^2-1=0 (ponto fechado). bul<=t Em x=0 o valor seria -1, mas é aberto l(0,-1r).
– Para 0<x<1, f(x)=2x. bul<=t Em x=0 o ponto (0,0) é aberto. bul<=t Em x=1 o ponto (1,2) é também aberto. É uma reta de inclinação 2.
– Em x=1, definem f(1)=1 (um ponto isolado l(1,1r)).
– Para 1<x<2, f(x)=-2x+4. bul<=t Em x=1 o valor seria 2 (aberto). bul<=t Em x=2 o valor seria 0 (aberto). É uma reta decrescente de coeficiente -2.
– Para 2<x<3, f(x)=0. bul<=t Em x=2 e x=3 são círculos abertos l(2,0r) e l(3,0r). É o eixo x entre 2 e 3.
Passo 3
Analisando em x=-1:
(a) Existe f(-1)?
Sim, pois o ramo x^2-1 vale em -1.
(b) Existe limxto -1^+f(x)?
Sim, aproximando pela direita de -1, f(x)=x^2-1 e
limxto -1^+(x^2-1)=(-1)^2-1=0
(c) limxto -1^+f(x)=f(-1)?
Sim, ambos são iguais a 0.
(d) f é contínua em x=-1?
Como o único limite existente é o lateral direito e ele coincide com f(-1), f é contínua em -1.
Passo 4
Analisando em x=1:
(e) Existe f(1)?
Sim, está dado f(1)=1.
(f) Existe limxto 1f(x)?
Precisamos dos dois laterais:
– Pela esquerda (0<x<1), limxto1^-2x=2.
– Pela direita (1<x<2), limxto1^+(-2x+4)=2.
Como ambos dão 2, o limite existe e vale 2.
(g) limxto1f(x)=f(1)?
Não: o limite é 2 mas f(1)=1.
(h) f é contínua em x=1?
Não, porque o limite não coincide com f(1).
Passo 5
Analisando em x=2:
(i) f é definida em x=2?
Não, pois não há nenhum ramo que inclua x=2.
(j) f é contínua em x=2?
Não, pois nem existe f(2).
Passo 6
(k) Em quais valores de x f é contínua?
– Em todo o interior de cada ramo polinomial: -1<x<0, 0<x<1, 1<x<2, 2<x<3.
– Nos extremos de domínio que existem: em x=-1 é contínua.
– Não é contínua em x=0, x=1, x=2 nem em x=3 (não definidos ou descontinuidade).
Passo 7
(l) Que valor atribuir a f(2) para estender continuamente em x=2?
Calculemos o limite em 2:
limxto2^-(-2x+4)=0, limxto2^+0=0,
logo limxto2f(x)=0. Deve-se definir f(2)=0.
Passo 8
(m) Para remover a descontinuidade em x=1, qual deve ser o novo valor de f(1)?
Como limxto1f(x)=2, basta redefinir f(1)=2.
Resposta
(a) Sim, f(-1)=0.
(b) Sim, limxto -1^+f(x)=0.
(c) Sim, limxto -1^+f(x)=f(-1).
(d) Sim, f é contínua em x=-1.
(e) Sim, f(1)=1.
(f) Sim, limxto1f(x)=2.
(g) Não, limxto1f(x)neq f(1).
(h) Não, f não é contínua em x=1.
(i) Não, f não está definida em x=2.
(j) Não, f não é contínua em x=2.
(k) f é contínua em -1 e em todo ponto interior de cada ramo: -1<x<0, 0<x<1, 1<x<2, 2<x<3.
(l) Para estender continuamente, defina f(2)=0.
(m) Para remover a descontinuidade em 1, redefine f(1)=2.