integral(4 xraiz2 x^2+7) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(4 xraiz2 x^2+7) dx. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para o denominador raiz2x^2 + 7, percebemos que se definirmos u = 2x^2 + 7, isso pode ajudar. Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 4x Rightarrow du = 4x , dx
Isso é ótimo porque o numerador da nossa integral é exatamente 4x , dx, que corresponde a du.

Passo 3

Com a substituição feita, vamos reescrever a integral em termos de u:
integral 4xraiz2x^2 + 7 , dx = integral duraizu
Assim, simplificamos a integral para uma expressão em u.

Passo 4

Agora, vamos integrar 1raizu em relação a u. Lembrando que integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C, onde C é a constante de integração. Então:
integral duraizu = 2raizu + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original substituindo u por 2x^2 + 7:
2raizu + C = 2raiz2x^2 + 7 + C

Resposta

A integral integral(4 xraiz2 x^2+7) dx é igual a 2raiz2x^2 + 7 + C.

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