integral 5^sen(x) cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 5^sen(x)cos(x),dx
O tema é integração por substituição em funções exponenciais. Vamos usar a regra de que, se u=sen(x), então a derivada de u em relação a x é cos(x), e a fórmula
integral a^u,du = a^uln(a) + C

Passo 2

Definimos a substituição
u = sen(x)
Como ddxl(sen(x)r)=cos(x), temos
du = cos(x),dx

Passo 3

Substituindo na integral, o fator cos(x),dx vira du e 5^sen(x) vira 5^u. Assim,
integral 5^sen(x)cos(x),dx = integral 5^u,du

Passo 4

Usamos a fórmula da integral de uma exponencial com base a:
integral 5^u,du = 5^uln(5) + C

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que u=sen(x), obtemos
5^uln(5) + C = 5^sen(x)ln(5) + C

Resposta

5^sen(x)ln(5) + C

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