lim x 0 xraiz1-cos x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0 xraiz1-cos x,
ou seja, um limite que à primeira vista dá a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor de cos x em torno de 0, o que é um recurso clássico para lidar com indeterminações envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor de ordem 2 para cos x:
cos x = 1 - x^22 + o(x^2)(xto0)
Logo
1 - cos x = x^22 + o(x^2)
Tomando raiz quadrada, temos
raiz1-cos x = raizx^22 + o(x^2) = |x|raiz2,l(1 + o(1)r)

Passo 3

Agora substituímos essa aproximação no quociente:
xraiz1-cos x = x|x|raiz2,(1+o(1)) = x|x|,raiz2,(1+o(1))
Repare que tfracx|x|=1 se x>0 e -1 se x<0. Assim, o valor da expressão difere à direita e à esquerda de zero.

Passo 4

Calculamos os limites laterais:
limxto0^+xraiz1-cos x = raiz2, limxto0^-xraiz1-cos x = -raiz2
Como esses dois resultados não coincidem, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto0xraiz1-cos x não existe. Os limites laterais são raiz2 (pela direita) e -raiz2 (pela esquerda).

Exercícios relacionados