lim x 0 cos x-cos 3 xx^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto0cos x-cos 3xx^2
Este tipo de limite costuma ser resolvido usando alguma identidade trigonométrica para simplificar a diferença de cossenos e, em seguida, os limites fundamentais
limxto0sin xx=1.

Passo 2

Aplicamos a identidade
cos A - cos B = -2sinl(A+B2r)sinl(A-B2r)
com A=x e B=3x. Assim,
cos x - cos 3x = -2,sin(2x),sin(-x) = 2,sin(2x),sin(x)

Passo 3

Substituindo no quociente e rearranjando, obtemos
cos x-cos 3xx^2 = 2,sin(2x),sin(x)x^2 =4;sin(2x)2x;sin(x)x

Passo 4

Como
limxto0sin(2x)2x=1 e limxto0sin(x)x=1, fica
limxto0cos x-cos 3xx^2 =4cdot1cdot1 = 4

Resposta

4

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