lim x a ln x-ln ax-a

Passo 1

Resumo do problema: queremos calcular o limite
limxto a ln x - ln ax - a
Isso é reconhecimento do coeficiente angular da reta secante da função f(x)=ln x no ponto x=a, ou seja, da derivada de ln x em a.

Passo 2

Identificação de indeterminação e escolha do método: ao substituir x=a no quociente, o numerador e o denominador vão a zero, caracterizando a forma indeterminada 0/0. Podemos usar a regra de L’Hôpital ou reconhecer diretamente o significado de derivada.

Passo 3

Aplicação da regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador, obtemos
limxto a ln x - ln ax - a = limxto a ddx(ln x)ddx(x) = limxto a 1/x1

Passo 4

Avaliação do limite: substituindo x=a na expressão 1/x resultante, ficamos com 1/a.

Resposta

1a

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