integral cosec 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral csc(2x),dx
O conteúdo principal é integração de função trigonométrica usando substituição e conhecimento da primitiva de csc u.

Passo 2

Fazemos a substituição
,u = 2x, logo ,du = 2,dx ou ,dx = tfrac12,du.
Portanto,
integral csc(2x),dx = integral csc(u),12,du = tfrac12integral csc(u),du

Passo 3

Para achar integral csc(u),du, multiplicamos numerador e denominador por csc u + cot u:
integral csc(u),du = integral csc u,(csc u + cot u)csc u + cot u,du = integral csc^2 u + csc u,cot ucsc u + cot u,du
Como
ddul(csc u + cot ur) = -l(csc^2 u + csc u,cot ur),
o numerador é - do derivado do denominador. Logo,
integral csc(u),du = -lnl|csc u + cot ur| + C

Passo 4

Voltando a x e incluindo o fator tfrac12, obtemos
integral csc(2x),dx = -tfrac12 lnl|csc(2x) + cot(2x)r| + C

Resposta

-tfrac12 lnl|csc(2x) + cot(2x)r| + C

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