Mostre que para todo inteiro n>0, vale o seguinte, para as integrais complexas:
Calcule lim n infty integral-infty^infty d xx^2 n+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limntoinftyIn, onde
In=integral-infty^inftydxx^2n+1
O conteúdo principal envolve integração de funções paramétricas e uso de fórmulas conhecidas de integrais impróprias (ou então método dos resíduos).

Passo 2

Observamos que a função fn(x)=1/(x^2n+1) é par. Isso implica
In=integral-infty^inftydxx^2n+1=2integral0^inftydxx^2n+1

Passo 3

Para a integral de 0 a infty usamos a fórmula clássica (que pode ser obtida via teorema dos resíduos ou Beta/Gama): para a>1,
integral0^inftyx^m-11+x^a,dx=pia,sinl(tfracmpiar),
válida quando 0. No nosso caso, escolhemos m=1 e a=2n, obtendo
integral0^inftydx1+x^2n=pi2n,sinl(tfracpi2nr)

Passo 4

Então a integral completa vale
In=2cdotpi2n,sinl(tfracpi2nr)=pin,sinl(tfracpi2nr)

Passo 5

Para encontrar o limite, usamos o fato de que quando zto0 temos sin zsim z. Aqui z=pi/(2n)to0 conforme ntoinfty, então
sinl(tfracpi2nr)simpi2n
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In=pin,sin(tfracpi2n)simpin,(pi/(2n))=2

Resposta

2

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