Mostre que para todo inteiro
, vale o seguinte, para as integrais complexas:
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
, onde
O conteúdo principal envolve integração de funções paramétricas e uso de fórmulas conhecidas de integrais impróprias (ou então método dos resíduos).
Passo 2
Observamos que a função
é par. Isso implica
Passo 3
Para a integral de
a
usamos a fórmula clássica (que pode ser obtida via teorema dos resíduos ou Beta/Gama): para
,
válida quando
. No nosso caso, escolhemos
e
, obtendo
Passo 4
Então a integral completa vale
Passo 5
Para encontrar o limite, usamos o fato de que quando
temos
. Aqui
conforme
, então
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Resposta
2