Use substituição para encontrar a série de Taylor em x=0 das funções abaixo.
f(x)=x cos (pi x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor em torno de 0 (Maclaurin) de f(x)=x·cos(πx). Para isso, vamos usar o desenvolvimento de cos(y) em torno de y=0 e depois fazer a substituição y=πx e, por fim, multiplicar por x.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos(y) é dada por
cos(y)=sumn=0^infty(-1)^ny^2n(2n)!
Isso vem de escrever cos(y) usando suas derivadas em y=0 e observar que só aparecem potências pares.

Passo 3

Substituindo y=πx na série acima, obtemos
cos(πx)=sumn=0^infty(-1)^n(πx)^2n(2n)!=sumn=0^infty(-1)^nπ^2nx^2n(2n)!

Passo 4

Basta agora multiplicar essa série por x para encontrar f(x):
f(x)=xcos(πx)=sumn=0^infty(-1)^nπ^2nx^2n+1(2n)!

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^nπ^2nx^2n+1(2n)!=x-π^2x^32!+π^4x^54!-cdots

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