Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções:
,
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.
Passo 1
O enunciado pede o campo de direções para a EDO autônoma
esboçar algumas soluções e determinar os pontos de equilíbrio e sua estabilidade. Vamos usar o fato de que para EDOs autônomas o campo de direções só depende de
e classificar equilíbrio pelo sinal de
.
Passo 2
Encontrar pontos de equilíbrio: são valores de
tais que
.
Logo os equilíbrios são
Passo 3
Classificação de estabilidade pelo sinal de
Em
:
Em
:
Passo 4
Descrevendo o campo de direções via o sinal de
:
- Para
: (segmentos inclinados para baixo). - Em
: (segmentos horizontais). - Para
: (segmentos inclinados para cima). - Em
: (segmentos horizontais). - Para
: (segmentos inclinados para baixo).
Esboço qualitativo das soluções no plano
:
- Se
, cresce monotonicamente e tende a quando . - Se
, decresce monotonicamente e tende a quando . - Se
ou , a solução fica constante nesses valores. - Se
, decresce e diverge para em tempo finito.
Resposta
Os pontos de equilíbrio são