Para as seguintes equações autônomas, desenhe o campo de direções e esboce algumas soluções:
y^prime=y-y^2,
Determine também as soluções de equilibrio e classifique estas soluções como assintóticamente estáveis, instáveis ou semiestáveis.

Passo 1

O enunciado pede o campo de direções para a EDO autônoma
y' = y - y^2,
esboçar algumas soluções e determinar os pontos de equilíbrio e sua estabilidade. Vamos usar o fato de que para EDOs autônomas o campo de direções só depende de y e classificar equilíbrio pelo sinal de f'(y).

Passo 2

Encontrar pontos de equilíbrio: são valores de y tais que y'=0.
y - y^2 = 0 Longrightarrow y(1 - y) = 0
Logo os equilíbrios são
y = 0 e y = 1

Passo 3

Classificação de estabilidade pelo sinal de
f'(y) = ddyl(y - y^2r) = 1 - 2y
Em y=0:
f'(0) = 1 > 0 Longrightarrow y=0 é instável éá
Em y=1:
f'(1) = 1 - 2 = -1 < 0 Longrightarrow y=1 é assimptoticamente estável éá

Passo 4

Descrevendo o campo de direções via o sinal de y' = y(1-y):
  • Para y<0: y'<0 (segmentos inclinados para baixo).
  • Em y=0: y'=0 (segmentos horizontais).
  • Para 0<y<1: y'>0 (segmentos inclinados para cima).
  • Em y=1: y'=0 (segmentos horizontais).
  • Para y>1: y'<0 (segmentos inclinados para baixo).
Esboço qualitativo das soluções no plano (t,y):
  • Se 0<y(0)<1, y(t) cresce monotonicamente e tende a 1 quando ttoinfty.
  • Se y(0)>1, y(t) decresce monotonicamente e tende a 1 quando ttoinfty.
  • Se y(0)=0 ou y(0)=1, a solução fica constante nesses valores.
  • Se y(0)<0, y(t) decresce e diverge para -infty em tempo finito.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são
y=0(instável), y=1(assimptoticamente estável) áá

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