(1,0 ponto) Calcule o limite
lim x 0 ln (1+x)-x1-cos x

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite limxto0ln(1+x)-x1-cos x. O conteúdo aqui é uso de séries de Taylor para funções elementares, pois ao aproximar numerador e denominador por polinômios em torno de x=0 conseguimos identificar o comportamento principal.

Passo 2

Vamos começar pela expansão de Taylor de ln(1+x) até a ordem x^3:
ln(1+x)=x-x^22+x^33+o(x^3)
Em seguida, usamos a expansão de Taylor de cos x até a ordem x^4:
cos x=1-x^22+x^424+o(x^4)
Agora substituímos essas séries no numerador e no denominador:
Numerador:
ln(1+x)-x=l(x-x^22+x^33+o(x^3)r)-x=-x^22+x^33+o(x^3)
Denominador:
$$
1-\cos x=1-\Bigl(1-\frac{x2}{2}+\frac{x4}{24}+o(x4)\Bigr)=\frac{x2}{2}+o(x^2).
$$

Passo 3

Agora dividimos as duas séries:
-x^22+x^33+o(x^3)x^22+o(x^2)=-tfrac12+tfracx3+o(x)tfrac12+o(1)
Quando xto0, os termos de ordem superior desaparecem e ficamos com -1.

Resposta

-1

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