(1,0 ponto) Calcule o limite
Passo 1
A questão pede o cálculo do limite
. O conteúdo aqui é uso de séries de Taylor para funções elementares, pois ao aproximar numerador e denominador por polinômios em torno de
conseguimos identificar o comportamento principal.
Passo 2
Vamos começar pela expansão de Taylor de
até a ordem
:
Em seguida, usamos a expansão de Taylor de
Agora substituímos essas séries no numerador e no denominador:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
$$
1-\cos x=1-\Bigl(1-\frac{x2}{2}+\frac{x4}{24}+o(x4)\Bigr)=\frac{x2}{2}+o(x^2).
$$
Passo 3
Agora dividimos as duas séries:
Quando
Resposta
-1