Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyexpl(tfracx^2+2x+32x^2+x-1r). Isso envolve limites de funções racionais e a propriedade de continuidade da função exponencial.

Passo 2

Como a função é da forma exp(g(x)), usamos que a exponencial é contínua, ou seja, limxtoinftyexp(g(x)) = expl(limxtoinftyg(x)r), desde que lim g(x) exista. Então nosso foco é g(x)=tfracx^2+2x+32x^2+x-1.

Passo 3

Para calcular limxtoinftyg(x), note que numerador e denominador são polinômios de grau 2. Dividimos cada termo por x^2:
x^2+2x+32x^2+x-1 = x^2l(1+2/x+3/x^2r)x^2l(2+1/x-1/x^2r) = 1+2/x+3/x^22+1/x-1/x^2
Quando xtoinfty, os termos 2/x, 3/x^2, 1/x e 1/x^2 tendem a zero. Logo:
limxtoinftyg(x) = 1+0+02+0-0 = 12

Passo 4

Por fim, aplicando a continuidade de exp, temos
limxtoinftyexpl(g(x)r) = expl(tfrac12r) = raize

Resposta

(\sqrt{e})

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