Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0cos(mx)-cos(nx)x^2. Estamos em um tópico de limites de funções envolvendo expansão em série de Taylor (ou Maclaurin), e vamos usar a aproximação de cos t para pequenos t.

Passo 2

Para resolver, lembramos que a série de Maclaurin de cos t até ordem t^2 é
cos t = 1 - t^22 + o(t^2)( tto0 )

Passo 3

Aplicamos essa expansão a t=mx e t=nx:
cos(mx) = 1 - (mx)^22 + o(x^2),
cos(nx) = 1 - (nx)^22 + o(x^2)

Passo 4

Subtraindo as duas expressões:
cos(mx)-cos(nx) = l(1 - m^2x^22 + o(x^2)r) - l(1 - n^2x^22 + o(x^2)r)
que simplifica para
cos(mx)-cos(nx) = n^2x^2 - m^2x^22 + o(x^2) = (n^2 - m^2)x^22 + o(x^2)

Passo 5

Agora dividimos por x^2 e consideramos o limite quando xto0:
cos(mx)-cos(nx)x^2 = n^2 - m^22 + o(x^2)x^2
Como o(x^2)/x^2to0, o limite vale

Passo 6

Resposta

n^2 - m^22

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