S-3.3 Dados
, mostre que no intervalo [
] existem
múltiplos de
, onde
é o quociente da divisão de
por
. Quantos são os múltiplos de
no intervalo
? (Na última situação, divida a análise em dois casos:
múltiplo de
e o contrário.)
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos números em dois intervalos são divisíveis por um inteiro
: primeiro no intervalo
e depois em
, sabendo que
. Vamos usar o algoritmo da divisão euclidiana e propriedades de progressões aritméticas para fazer essa contagem.
Passo 2
Aplicamos a divisão de
por
. Existem inteiros
e
tais que
Por definição de divisão inteira, temos
Passo 3
No intervalo
, os múltiplos de
são exatamente
pois
. Essa sequência é uma progressão aritmética de razão
com
termos. Logo, há
múltiplos de
em
.
Passo 4
Para contar os múltiplos de
em
, seja
Caso
: se
, então
é múltiplo de
. Os múltiplos de
em
são
que são
termos.
Passo 5
Caso
: se
, então
não é múltiplo de
. O primeiro múltiplo de
é
. Assim, os múltiplos em
são
totalizando
termos.
Resposta
No intervalo
onde .