(1t+1t^2-yt^2+y^2) d t+(y e^y+tt^2+y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(1t+1t^2-yt^2+y^2)dt +(y e^y+tt^2+y^2)dy=0
do tipo M(t,y),dt+N(t,y),dy=0. O conteúdo aqui é equações exatas: precisamos verificar se partial M/partial y=partial N/partial t e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(t,y) tal que phit=M e phiy=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
M(t,y)=1t+1t^2-yt^2+y^2,
N(t,y)=y e^y+tt^2+y^2
Temos
partial Mpartial y =-(t^2+y^2)-2y^2(t^2+y^2)^2 =-t^2-y^2(t^2+y^2)^2,
partial Npartial t =(t^2+y^2)-2t^2(t^2+y^2)^2 =y^2-t^2(t^2+y^2)^2 =-t^2-y^2(t^2+y^2)^2
Logo, partial M/partial y=partial N/partial t e a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(t,y) satisfazendo phit=M. Integramos em t:
phi(t,y) =integral!M,dt =integral!l(1t+1t^2-yt^2+y^2r)dt =ln|t|-1t -arctan!l(tyr)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
phiy =partialpartial yl[-arctan(tfracty)r]+h'(y) =tt^2+y^2+h'(y) =y e^y+tt^2+y^2
Isso dá h'(y)=y e^y, logo
h(y)=integral y e^ydy =y e^y-e^y=(y-1)e^y

Passo 5

Substituindo h(y) em phi, a solução geral implícita fica
phi(t,y) =ln|t|-1t -arctan!l(tyr) +(y-1)e^y =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

boxedln|t|-1t -arctan!l(tfractyr) +(y-1)e^y=C

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