Para os itens a seguir, encontre as parametrizações para as seguintes superfícies.
A porção do parabolóide
contida no interior da esfera
.
A porção do parabolóide
Passo 1
O enunciado pede a parametrização da parte do paraboloide
que fica dentro da esfera
Estamos em superfícies definidas como gráfico de função de duas variáveis, e vamos usar coordenadas polares no plano
para simplificar tanto a forma da parametrização quanto a descrição do domínio.
Passo 2
Como o paraboloide é o gráfico de
podemos tomar como parâmetros diretamente
e definir
Falta apenas impor a condição de interior da esfera.
Passo 3
A condição
fica, em termos de
,
que é mais fácil de tratar usando polares:
Passo 4
Substituindo em
e em
, obtemos
A condição de estar dentro da esfera vira
Passo 5
Resolvendo
, fazemos
e temos
Como
, segue
, ou seja
. O ângulo
percorre todo
.
Resposta
Uma parametrização conveniente é
com