Para os itens a seguir, encontre as parametrizações para as seguintes superfícies.
A porção do parabolóide y=x^2+z^2 contida no interior da esfera x^2+y^2+z^2=2.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte do paraboloide
y = x^2 + z^2
que fica dentro da esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 2
Estamos em superfícies definidas como gráfico de função de duas variáveis, e vamos usar coordenadas polares no plano (x,z) para simplificar tanto a forma da parametrização quanto a descrição do domínio.

Passo 2

Como o paraboloide é o gráfico de
y = x^2 + z^2,
podemos tomar como parâmetros diretamente (u,v)=(x,z) e definir
r(u,v) = l(u,;u^2+v^2,;vr)
Falta apenas impor a condição de interior da esfera.

Passo 3

A condição x^2+y^2+z^2<=2 fica, em termos de (u,v),
u^2 + l(u^2+v^2r)^2 + v^2 <= 2,
que é mais fácil de tratar usando polares:
u = rcostheta, v = rsintheta

Passo 4

Substituindo em y = u^2+v^2 e em x^2+y^2+z^2, obtemos
y = r^2,
x^2+y^2+z^2 = r^2 + r^4
A condição de estar dentro da esfera vira
r^2 + r^4 <= 2

Passo 5

Resolvendo r^4 + r^2 - 2 <= 0, fazemos s = r^2 e temos
s^2 + s - 2 <= 0 Longrightarrow -2 <= s <= 1
Como s=r^2>=0, segue 0 <= r^2 <= 1, ou seja 0<= r<=1. O ângulo theta percorre todo 0<=theta<=2pi.

Resposta

Uma parametrização conveniente é
r(r,theta) = l(rcostheta,;r^2,;rsinthetar),
com
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi

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