Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^2 t, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''-2y'+y = e^2t, y(0)=0, y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. Vamos usar:
  • Ly'(s)=sY(s)-y(0)
  • Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
  • Le^at(s)=tfrac1s-a.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, obtemos
Ly''(s)-2Ly'(s)+Ly(s) =Le^2t(s)
ou seja
l(s^2Y(s)r)-2l(sY(s)r)+Y(s) =1s-2

Passo 3

No lado esquerdo fatoramos Y(s):
(s^2-2s+1),Y(s)=(s-1)^2,Y(s)=1s-2
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Y(s)=1(s-1)^2,(s-2)

Passo 4

Fazemos frações parciais:
1(s-1)^2(s-2) =As-2+Bs-1+C(s-1)^2
Multiplicando por (s-1)^2(s-2) e igualando coeficientes, chega-se a
A=1, B=-1, C=-1
Assim
Y(s)=1s-2-1s-1-1(s-1)^2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa:
L^-1l1s-2r=e^2t, L^-1l1s-1r=e^t, L^-1l1(s-1)^2r=t,e^t
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y(t)=e^2t-e^t-t,e^t

Resposta

y(t)=e^2t-(1+t),e^t

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