1. sumn=1^infty(1n-1n^2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a soma da série
sumn=1^inftyl(1n-1n^2r)
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar a propriedade de linearidade (separar soma/diferença de séries) e os resultados conhecidos para a série harmônica e para a série p-com p=2.

Passo 2

Escrevemos a série como diferença de duas séries conhecidas:
sumn=1^inftyl(1n-1n^2r) =sumn=1^infty1n;-;sumn=1^infty1n^2

Passo 3

Vamos analisar a convergência separadamente:
  1. A série sumn=1^infty1n é a série harmônica, que diverge (por exemplo, comparando com a integral integral1^infty1xdx ou pelo critério de divergência).
  2. A série sumn=1^infty1n^2 é uma série p com p=2>1, logo converge e o seu valor é
sumn=1^infty1n^2=pi^26

Passo 4

Como a diferença de uma série divergente com uma convergente continua divergente (o termo divergente “domina”), concluímos que
sumn=1^inftyl(1n-1n^2r)
não converge, ou seja, diverge para +infty.

Resposta

A série diverge (não possui soma finita).

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