Identifique a região do R^3 descrita em coordenadas esféricas por:
theta=pi / 6

Passo 1

O enunciado pede para identificar o lugar geométrico em R^3 descrito pelas coordenadas esféricas quando o ângulo polar theta é fixo em pi/6. O conteúdo aqui é conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas para reconhecer a superfície correspondente.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (convenção usual), um ponto (x,y,z) satisfaz
x = rho ,sin(theta)cos(varphi), y = rho ,sin(theta)sin(varphi), z = rho ,cos(theta),
onde rho>=0, thetain[0,pi] é o ângulo em relação ao eixo z e varphiin[0,2pi) é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Ao impor theta = pi/6, temos
z = rhocosl(tfracpi6r) = rhocdotraiz32, raizx^2+y^2 = rhosinl(tfracpi6r) = rhocdot12

Passo 4

Eliminando rho entre as duas expressões:
raizx^2+y^2 = 1raiz3,z Longrightarrow x^2+y^2 = 13,z^2

Passo 5

A equação x^2+y^2 = tfrac13z^2 representa um cone circular reto de vértice na origem, cujo geratriz faz ângulo de pi/6 com o eixo z. O parâmetro varphi varia livremente em [0,2pi) e rho>=0, gerando toda a superfície cônica.

Resposta

A superfície é o cone circular reto de meia-abertura pi/6 em torno do eixo OZ, dado em coordenadas cartesianas por
x^2+y^2 = tfrac13,z^2

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