Le^3 t(9-4 t+10 sen t2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
Le^3t(9-4t+10sintfract2).
O conteúdo necessário é a linearidade da transformada e o teorema do deslocamento (ou teorema do “shift”) que diz
Le^a tf(t)(s)=F(s-a),
onde F(s)=Lf(t)(s).

Passo 2

Pela linearidade temos
Le^3t(9-4t+10sintfract2) =9,Le^3t-4,Lt,e^3t +10,Lsin(tfrac t2),e^3t
Aplicando o teorema do deslocamento, cada termo é da forma Le^3tf(t)(s)=Lf(t)(s-3).

Passo 3

Calculemos primeiro
F(s)=L9-4t+10sintfrac t2(s)
Usando fórmulas básicas:
L9(s)=9s, Lt(s)=1s^2, Lsin(tfrac t2)(s) =tfrac12s^2+(tfrac12)^2 =1/2s^2+tfrac14
Logo
F(s) =9s-4cdot1s^2 +10cdot1/2s^2+tfrac14 =9s-4s^2+5s^2+tfrac14

Passo 4

Pelo deslocamento, substituímos sto s-3 em F(s). Assim
Le^3t(9-4t+10sintfrac t2)(s) =F(s-3) =9s-3-4(s-3)^2 +5(s-3)^2+tfrac14

Resposta

boxedLe^3t(9-4t+10sintfrac t2)(s) =9s-3-4(s-3)^2 +5(s-3)^2+tfrac14

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