1^ a ) Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
(1+t^2) y^prime+4 t y=t ; y(1)=14

Passo 1

O enunciado dá a equação
(1+t^2),y' + 4t,y = t,
com condição inicial y(1)=tfrac14. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão ,y'+p(t),y=q(t):
y' + 4t1+t^2,y = t1+t^2
Aqui p(t)=tfrac4t1+t^2 e q(t)=tfract1+t^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integral p(t),dtr) =expl(integral 4t1+t^2,dtr) =expl(2ln(1+t^2)r) =(1+t^2)^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t) obtemos
(1+t^2)^2,y' + (1+t^2)^2,4t1+t^2,y =t,(1+t^2)^21+t^2 ;Longrightarrow; ddtl[(1+t^2)^2yr] = t,(1+t^2)
Agora integramos em t:
(1+t^2)^2y = integrall(t + t^3r),dt + C = t^22 + t^44 + C

Passo 5

Isolando y,
y = t^22 + t^44 + C(1+t^2)^2

Passo 6

Usamos y(1)=tfrac14. Para t=1 o numerador vale tfrac12+tfrac14+C=tfrac34+C e o denominador é (1+1)^2=4. Então
tfrac34 + C4 = 14 ;Longrightarrow; tfrac34 + C = 1 ;Longrightarrow; C = tfrac14

Passo 7

Substituindo C=tfrac14 no numerador:
t^2/2 + t^4/4 + 1/4(1+t^2)^2 = tfract^4+2t^2+14(1+t^2)^2 = (1+t^2)^24(1+t^2)^2 = 14
Portanto a solução satisfaz a condição inicial e é constante.

Resposta

y(t) = 14

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