1^ a ) Identifique e resolva as equações diferenciais. SEM USAR TRANSFORMADA DE LAPLACE (Valor=2,0 cada)
(sen x cosh y) d x=(cos x senh y) d y ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(sin x;cosh y),dx = (cos x;sinh y),dy,
com condição inicial y(0)=0. Este é um problema de equação de primeira ordem, e vamos resolvê-la pelo método de variáveis separáveis (sem usar Transformada de Laplace).

Passo 2

Reescrevemos em forma de derivada:
dydx = sin x;cosh ycos x;sinh y = sin xcos x;cosh ysinh y = tan x;coth y

Passo 3

Separamos as variáveis x e y:
dycoth y = tan x,dx Longrightarrow sinh ycosh y,dy = tan x,dx,
isto é,
tanh y,dy = tan x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral tanh y,dy = integral tan x,dx Longrightarrow ln!l(cosh yr) = -ln!l(cos xr) + C
Reagrupando,
ln!l(cosh ycos xr)=C Longrightarrow cosh y,cos x = K,
onde K=e^C é constante de integração.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Em x=0 temos cosh y(0)=cosh0=1 e cos0=1, logo
K = cosh0 cdot cos0 = 1cdot1 = 1
Portanto a solução implícita fica
cos x;cosh y = 1
Podemos ainda isolar y:
cosh y = 1cos x Longrightarrow y(x) = arccosh!l(sec xr)

Resposta

A solução geral que satisfaz y(0)=0 é
boxedcos x;cosh y = 1
ou, explicitamente,
boxedy(x)=arccosh!l(sec xr)

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