1. sum k!e^3 k

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a série infinita
sumk=0^infty k!e^3k
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas. Para decidir se essa série converge ou diverge, vamos usar o teste da razão (ou de d’Alembert), que é muito eficaz quando aparecem fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Denominamos
ak = k!e^3k
No teste da razão, calculamos
L = limk to infty ak+1ak
Substituindo ak+1 e ak, temos
ak+1ak = (k+1)!e^3(k+1)k!e^3k = (k+1)!,e^3kk!,e^3(k+1) = k+1e^3

Passo 3

Agora, tomamos o limite quando ktoinfty:
L = limktoinftyk+1e^3 = +infty
No teste da razão, se L>1 (ou mesmo L=+infty), a série diverge.

Resposta

A série
sumk=0^infty k!e^3k
diverge.

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