Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{d x}{(\sqrt{x}+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx(raizx+1)^2
usando técnicas de integração por dedução (substituição e decomposição).

Passo 2

Faça a substituição natural para lidar com raizx:
t = raizx Longrightarrow x = t^2, dx = 2t,dt

Passo 3

Em termos de t, a integral vira
integral dx(raizx+1)^2 = integral 2t,dt(t+1)^2

Passo 4

Para integrar 2t(t+1)^2, decomponha por divisão:
2t = 2l((t+1)-1r) =2(t+1)-2,
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2t(t+1)^2 =2(t+1)(t+1)^2-2(t+1)^2 = 2t+1-2(t+1)^2

Passo 5

Agora integre termo a termo:
integral (2t+1-2(t+1)^2)dt =2integral dtt+1 -2integral (t+1)^-2dt =2ln|t+1| + 2t+1 + C

Passo 6

Volte à variável x usando t=raizx:
2ln|t+1| + 2t+1 + C ;longrightarrow; 2lnl(raizx+1r) + 2raizx+1 + C

Resposta

boxed2lnl(raizx+1r) + 2raizx+1 + C

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