Resolva usando Substituição Simples em Produtos e Quocientes
\n& \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1x(ln x)^2 , dx usando o método de Substituição Simples em Produtos e Quocientes. Para isso, vamos precisar entender como fazer uma troca de variável que simplifique a integral, facilitando a sua resolução.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a integral, notamos que temos ln x no denominador. Vamos definir:
u = ln x
Isso significa que estamos substituindo ln x por u para simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = 1x
Isso implica que:
du = 1x , dx

Passo 4

Rearranjando a equação acima para resolver dx:
dx = x , du
Mas lembrando que x = e^u, já que u = ln x.

Passo 5

Substituindo u = ln x e dx = x , du na integral original:
integral 1x u^2 cdot x , du = integral 1u^2 , du
Observe que os termos x se cancelaram, simplificando a integral para integral 1u^2 , du .

Passo 6

Agora, resolvemos a integral simplificada:
integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du
A integral de u^-2 em relação a u é:
- u^-1 + C = -1u + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original x substituindo u = ln x:
-1ln x + C

Resposta

-1ln x + C

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