Resolva usando Substituição Simples em Produtos e Quocientes
\n& \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}} d x
\n& \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de Substituição Simples em Produtos e Quocientes. Para isso, vamos precisar entender como fazer uma troca de variável que simplifique a integral, facilitando a sua resolução.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a integral, notamos que temos
no denominador. Vamos definir:
Isso significa que estamos substituindo
por
para simplificar a expressão.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso implica que:
Passo 4
Rearranjando a equação acima para resolver
:
Mas lembrando que
, já que
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Observe que os termos
se cancelaram, simplificando a integral para
.
Passo 6
Agora, resolvemos a integral simplificada:
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, voltamos à variável original
substituindo
: