Resolva usando Substituição Simples em Produtos e Quocientes
\n& \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral xraiz1+x^2,dx
usando substituição simples em produtos e quocientes. Aqui temos uma composição g(x)=1+x^2 dentro de uma raiz e sua derivada aparente 2x multiplicando dx. Isso sugere a clássica substituição u=1+x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + x^2,
temos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du

Passo 3

Substituindo na integral, trocamos x,dx por tfrac12,du e raiz1+x^2 por raizu:
integral xraiz1+x^2,dx = integral 1raizu;l(x,dxr) = integral 1raizucdot12,du = 12integral u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^-tfrac12:
integral u^-tfrac12,du = u^-tfrac12+1-tfrac12+1 + C = u^tfrac12tfrac12 + C = 2,u^tfrac12 + C
Multiplicando pelo fator tfrac12 que estava fora, obtemos
12integral u^-tfrac12,du = 12l(2,u^tfrac12r) + C = u^tfrac12 + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que u=1+x^2. Logo
u^tfrac12 + C = raiz1+x^2 + C

Resposta

integral xraiz1+x^2,dx = raiz1+x^2 + C

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