1. 1+x^2+x^4+ldots=sumk=0^infty x^2 k

Passo 1

O enunciado dá a soma infinita
sumk=0^infty x^2k = 1 + x^2 + x^4 + cdots
Este é um caso clássico de série geométrica, em que o primeiro termo é a=1 e a razão é r=x^2. Para resolvê-la, precisaremos (1) determinar para quais x a série converge e (2) usar a fórmula da soma da série geométrica.

Passo 2

Uma série geométrica
sumk=0^infty a,r^k
converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui temos r = x^2, então a condição de convergência é
lvert x^2rvert < 1 Longrightarrow lvert xrvert < 1

Passo 3

Quando lvert rrvert<1, a soma da série geométrica é
sumk=0^infty a,r^k = a1 - r
No nosso caso a=1 e r=x^2, logo
sumk=0^infty x^2k = 11 - x^2

Resposta

A série converge para lvert xrvert<1 e
1 + x^2 + x^4 + cdots = sumk=0^infty x^2k = 11 - x^2

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