Questão 3 [ 2.0 pontos] Seja f(x)=a x^3-b x^2+c, definida no corpo dos números reais, determine a, b e c tais que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1,0) e um dos pontos em que há mudança de crescimento tenha abscissa igual a 2 e ordenada igual a -2 .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=a x^3-b x^2+c
e pede que ela tenha um ponto de inflexão em (1,0) e um ponto de mudança de crescimento (crítico) em que a abscissa é 2 e a ordenada é -2. Para isso vamos usar as derivadas primeira e segunda:
f'(x)=3a x^2-2b x, f''(x)=6a x-2b

Passo 2

Do ponto de inflexão em (1,0) tiramos duas condições:
  1. f''(1)=0 implica
6acdot1-2b=0Longrightarrow b=3a
  1. f(1)=0 implica
acdot1^3-bcdot1^2+c=0 Longrightarrow a-b+c=0 Longrightarrow a-3a+c=0 Longrightarrow c=2a

Passo 3

Do ponto crítico em x=2 com f(2)=-2 temos:
  1. f'(2)=0
3acdot2^2-2bcdot2=0 Longrightarrow 12a-4b=0 Longrightarrow b=3a,
o que confirma a relação anterior.
2. f(2)=-2
acdot2^3-bcdot2^2+c=-2 Longrightarrow 8a-4b+c=-2
Substituindo b=3a e c=2a:
8a-4,(3a)+2a=-2 Longrightarrow 8a-12a+2a=-2 Longrightarrow -2a=-2 Longrightarrow a=1
Logo b=3cdot1=3 e c=2cdot1=2.

Resposta

a=1,;b=3,;c=2.

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