Parametrize as curvas planas abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para parametrizar a curva
, que é definida por todos os pontos
no plano que satisfazem a equação
e onde
. Isso significa que estamos trabalhando com uma parte do círculo de raio 2 (porque
) centrado na origem, mas apenas a parte onde a coordenada
é maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de círculos e ajustar para a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizar um círculo completo. Em geral, um círculo de raio [r) centrado na origem pode ser parametrizado usando um parâmetro
que varia de 0 a
:
No nosso caso, o raio (r] é 2, então a parametrização completa seria:
Passo 3
Agora, precisamos considerar a restrição
. Vamos encontrar os valores de
que satisfazem essa condição. Sabemos que
, então queremos:
Passo 4
A desigualdade
é satisfeita nos intervalos onde o seno é maior ou igual a 1/2. Sabemos que isso acontece quando
está entre
e
. Então, o parâmetro
deve variar nesse intervalo para garantir que
.
Passo 5
Com isso, nossa parametrização final para a curva [C_{3}) será:
onde .
Resposta
A parametrização da curva [C_{3}) é:
para todo .