Parametrize as curvas planas abaixo:
C3=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=4, y >= 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para parametrizar a curva C3, que é definida por todos os pontos (x, y) no plano que satisfazem a equação x^2 + y^2 = 4 e onde y >= 1. Isso significa que estamos trabalhando com uma parte do círculo de raio 2 (porque raiz4 = 2) centrado na origem, mas apenas a parte onde a coordenada y é maior ou igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de círculos e ajustar para a condição y >= 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar um círculo completo. Em geral, um círculo de raio [r) centrado na origem pode ser parametrizado usando um parâmetro que varia de 0 a :
No nosso caso, o raio (r] é 2, então a parametrização completa seria:

Passo 3

Agora, precisamos considerar a restrição y >= 1. Vamos encontrar os valores de t que satisfazem essa condição. Sabemos que y(t) = 2 sin(t), então queremos:
2 sin(t) >= 1 implies sin(t) >= 12

Passo 4

A desigualdade sin(t) >= 12 é satisfeita nos intervalos onde o seno é maior ou igual a 1/2. Sabemos que isso acontece quando t está entre pi6 e 5pi6. Então, o parâmetro t deve variar nesse intervalo para garantir que y >= 1.

Passo 5

Com isso, nossa parametrização final para a curva [C_{3}) será:
onde .

Resposta

A parametrização da curva [C_{3}) é:
para todo .

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