Seja r(t)=x(t) i+y(t) j+z(t) k, onde r=|r(t)|. Mostrar que
nabla(1r ln r)=rr^3(1+ln 1r)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k e sabemos que r = |r(t)|, que é o comprimento desse vetor. A questão pede pra mostrar que o gradiente de 1r ln r é igual a rr^3(1 + ln 1r). Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas parciais, então bora passo a passo resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar f(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de f e é dado por:
nabla f = partial fpartial xi + partial fpartial yj + partial fpartial zk
No nosso caso, a função f(r) = 1r ln r, onde r = raizx^2 + y^2 + z^2. Precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos começar calculando partial rpartial x, partial rpartial y e partial rpartial z. Sabemos que:
r = raizx^2 + y^2 + z^2
Derivando em relação a x:
partial rpartial x = xr
De forma similar:
partial rpartial y = yr e partial rpartial z = zr

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de f(r):
f(r) = 1r ln r
A derivada de f em relação a r é:
f'(r) = ddr(1r ln r)
Usando a regra do produto:
f'(r) = ddr(1r) ln r + 1r ddr(ln r) = -1r^2 ln r + 1r^2 = 1 - ln rr^2

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de f em relação a x, y e z:
partial fpartial x = f'(r) partial rpartial x = 1 - ln rr^2 cdot xr = x(1 - ln r)r^3
De forma similar:
partial fpartial y = y(1 - ln r)r^3 e partial fpartial z = z(1 - ln r)r^3

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente de f:
nabla f = partial fpartial xi + partial fpartial yj + partial fpartial zk = 1 - ln rr^3(xi + yj + zk)
Observamos que xi + yj + zk é o nosso vetor r, então:
nabla f = rr^3(1 - ln r)

Passo 7

Agora, vamos reescrever 1 - ln r como 1 + ln 1r. Sabemos que ln 1r = -ln r, então:
1 - ln r = 1 + ln 1r
Substituindo na expressão do gradiente:
nabla(1r ln r) = rr^3(1 + ln 1r)

Resposta

nabla(1r ln r) = rr^3(1 + ln 1r)

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