Seja
, onde
. Mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor
e sabemos que
, que é o comprimento desse vetor. A questão pede pra mostrar que o gradiente de
é igual a
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas parciais, então bora passo a passo resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado por:
No nosso caso, a função
, onde
. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
,
e
. Sabemos que:
Derivando em relação a
:
De forma similar:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
:
A derivada de
em relação a
é:
Usando a regra do produto:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
De forma similar:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente de
:
Observamos que
é o nosso vetor
, então:
Passo 7
Agora, vamos reescrever
como
. Sabemos que
, então:
Substituindo na expressão do gradiente: