Use as relações
e
div(F times G)=lang<=G, rot Frang<=-lang<=F, rot Grang<= rot(rot F)=grad(div F)-nabla^2 F
para mostrar que:
se nabla^2 F=0, então grad(div F) é um campo incompressível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, se o Laplaciano de um campo vetorial F é zero, ou seja, nabla^2 F = 0, então o gradiente da divergência de F, que é grad(div F), é um campo incompressível.
Para resolver isso, vamos usar duas relações importantes da matéria de Cálculo Vetorial:
  1. A divergência do produto vetorial:
div(F times G) = lang<= G, rot F rang<= - lang<= F, rot G rang<=
  1. O rotor do rotor de F:
rot(rot F) = grad(div F) - nabla^2 F
Vamos precisar entender conceitos como divergência, gradiente, rotor e Laplaciano de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa nabla^2 F = 0. O operador Laplaciano aplicado a um campo vetorial F é dado por:
nabla^2 F = grad(div F) - rot(rot F)
Mas segundo a relação do rotor do rotor, temos:
rot(rot F) = grad(div F) - nabla^2 F
Se nabla^2 F = 0, então:
rot(rot F) = grad(div F)
Isso já é um passo importante!

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos rotors: a divergência do rotor de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em outras palavras:
div(rot A) = 0 para qualquer vetor A
Aplicando isso ao nosso caso, onde A = rot F, temos:
div(rot(rot F)) = 0
Mas, conforme vimos no Passo 2:
rot(rot F) = grad(div F)
Então podemos substituir:
div(grad(div F)) = 0

Passo 4

Agora, vamos interpretar o que significa div(grad(div F)) = 0. O operador grad(div F) é o gradiente da divergência de F, que é um campo vetorial. A divergência desse campo vetorial sendo zero implica que ele é incompressível.
Portanto, mostramos que:
div(grad(div F)) = 0 implies grad(div F) é um campo incompressível éí

Resposta

Assim, provamos que se nabla^2 F = 0, então grad(div F) é um campo incompressível, ou seja, sua divergência é zero.

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