Use as relações
e
para mostrar que:
se
, então
é um campo incompressível.
e
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, se o Laplaciano de um campo vetorial
é zero, ou seja,
, então o gradiente da divergência de
, que é
, é um campo incompressível.
Para resolver isso, vamos usar duas relações importantes da matéria de Cálculo Vetorial:
- A divergência do produto vetorial:
- O rotor do rotor de
:
Vamos precisar entender conceitos como divergência, gradiente, rotor e Laplaciano de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O operador Laplaciano aplicado a um campo vetorial
é dado por:
Mas segundo a relação do rotor do rotor, temos:
Se
, então:
Isso já é um passo importante!
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos rotors: a divergência do rotor de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em outras palavras:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
, temos:
Mas, conforme vimos no Passo 2:
Então podemos substituir:
Passo 4
Agora, vamos interpretar o que significa
. O operador
é o gradiente da divergência de
, que é um campo vetorial. A divergência desse campo vetorial sendo zero implica que ele é incompressível.
Portanto, mostramos que:
Resposta
Assim, provamos que se
, então
é um campo incompressível, ou seja, sua divergência é zero.