1. e^y^2(x^2+4)=20

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
e^y^2l(x^2+4r)=20
e pede a derivada dydx. Vamos usar diferenciação implícita, o produto de funções e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, o lado direito vira zero:
ddxl[e^y^2l(x^2+4r)r]=0
Pelo produto,
ddxl(e^y^2r),(x^2+4)+e^y^2,ddx(x^2+4)=0

Passo 3

Aplicando regra da cadeia em ddx(e^y^2):
ddx(e^y^2)=e^y^2cdotddx(y^2) =e^y^2cdot2ydydx
E ddx(x^2+4)=2x. Substituindo,
e^y^2cdot2ydydx,(x^2+4)+e^y^2cdot2x=0

Passo 4

Podemos fatorar e^y^2 (sempre positivo, não anula nada):
e^y^2l[2y(x^2+4)dydx+2xr]=0 ;Longrightarrow; 2y(x^2+4)dydx+2x=0
Isolando dydx:
2y(x^2+4)dydx=-2x ;Longrightarrow; dydx=-2x2y(x^2+4)

Passo 5

Simplificando o fator 2:
dydx=-xy,(x^2+4)

Resposta

dydx=-xy,(x^2+4)

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