Seja gamma a curva parametrizada por r(t)=(t, t^3-1, raizt), 0 <= t <= 4.
Reparametrize gamma em termos de um novo parâmetro lambda onde t=lambda^2. [0.5]

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva gamma:;[0,4]to R^3 dada por vec r(t)=(t,,t^3-1,,raiz t) usando um novo parâmetro lambda de modo que t=lambda^2. O conteúdo aqui é reparametrização de curvas: basta substituir t por uma função de lambda e ajustar o domínio.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio de lambda. Como originalment t varia de 0 a 4 e t=lambda^2, temos
0<=lambda^2<=4
Logo,
0<=lambda<=2
(escolhendo a raiz não-negativa para corresponder a raiz t).

Passo 3

Agora substituímos t=lambda^2 em cada componente de vec r(t). Isso dá:
vec r(lambda) = (,lambda^2,,(lambda^2)^3-1,,raizlambda^2,)
Como tomamos lambda>=0, raizlambda^2=lambda. Simplificando,
vec r(lambda)=(lambda^2,,lambda^6-1,,lambda)
com 0<=lambda<=2.

Resposta

A reparametrização fica
vec r(lambda)=(lambda^2,,lambda^6-1,,lambda), 0<=lambda<=2

Exercícios relacionados