Seja a curva gamma parametrizada por r(t)=(cos t, 1+sin t), 0 <= t <= 2 pi. Calcule o comprimento do arco da curva compreendido entre os pontos A(0,2) e B(-1,1). [1.0]

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica gamma definida por r(t)=(cos t,1+sin t) para 0<= t<=2pi, e pede o comprimento do arco entre os pontos A(0,2) e B(-1,1). O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva parametrizada, para o qual vamos usar a fórmula
s=integraltA^tBl|r,'(t)r|,dt

Passo 2

Precisamos primeiro descobrir os valores de t em que r(t) atinge os pontos A e B. Para A(0,2) temos:
cos t=0,1+sin t=2impliessin t=1
Essas equações são satisfeitas somente em tA=tfracpi2. Para B(-1,1) temos:
cos t=-1,1+sin t=1impliessin t=0
Isso ocorre em tB=pi.

Passo 3

Agora calculamos a derivada da parametrização e sua norma. Temos
r,'(t)=(-sin t,,cos t)
e a norma é
l|r,'(t)r|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2=raizsin^2t+cos^2t=1

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, com tA=tfracpi2 e tB=pi, obtemos
s=integralpi/2^pi1,dt=l[tr]pi/2^pi=pi-tfracpi2=tfracpi2

Resposta

tfracpi2

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