Seja a curva parametrizada por . Calcule o comprimento do arco da curva compreendido entre os pontos e . [1.0]
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva paramétrica definida por para , e pede o comprimento do arco entre os pontos e . O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva parametrizada, para o qual vamos usar a fórmula
Passo 2
Precisamos primeiro descobrir os valores de t em que r(t) atinge os pontos A e B. Para A(0,2) temos:
cos t=0,1+sin t=2impliessin t=1
Essas equações são satisfeitas somente em tA=tfracpi2. Para B(-1,1) temos:
cos t=-1,1+sin t=1impliessin t=0
Isso ocorre em tB=pi.
Passo 3
Agora calculamos a derivada da parametrização e sua norma. Temos