lim x 0 xtan ^-1(4 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 0 xtan^-1(4x)
Isso é um caso de forma indeterminada 0/0. Podemos resolvê-lo usando a Regra de L’Hôpital ou a expansão em série de Taylor de tan^-1(u) para u pequeno.

Passo 2

Verificamos a indeterminação: ao fazermos xto0, o numerador vai a 0 e o denominador vai a tan^-1(4cdot0)=0. Logo temos 0/0, condição para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x. A derivada do numerador é
ddx[,x,]=1,
e a derivada do denominador é
ddxl[tan^-1(4x)r] =11+(4x)^2cdot4 =41+16x^2

Passo 4

Pela Regra de L’Hôpital,
limx to 0 xtan^-1(4x) =limx to 0 141+16x^2 =limx to 0 1+16x^24 =14

Resposta

14

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