lim x 0 x+tan (2 x)x-tan (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0x+tan(2x)x-tan(2x),
que é um limite de função que se apresenta na forma indeterminada 0/0. Vamos usar a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
0+tan(0)0-tan(0)=00,
logo podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pelo teorema de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente.
A derivada do numerador é
ddxl(x+tan(2x)r)=1+ddxl(tan(2x)r) =1+sec^2(2x)cdot2
A derivada do denominador é
ddxl(x-tan(2x)r)=1-ddxl(tan(2x)r) =1-2sec^2(2x)

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas em x=0. Como sec^2(0)=1, temos
numerador: 1+2cdot1=3,
denominador: 1-2cdot1=-1.
Portanto, pelo L’Hôpital,
limxto0x+tan(2x)x-tan(2x) =3-1=-3

Resposta

-3

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