Numa sala de aula com vinte e três alunos, qual a probabilidade de que dois deles façam aniversário no mesmo dia? É mais provável que existam dois alunos que fazem aniversário ou no mesmo dia ou é mais provável que isso não aconteça? O que diz a sua intuição antes de realizar os cálculos?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, num grupo de 23 alunos, haja pelo menos dois com o mesmo aniversário. Vamos supor que os dias do ano sejam 365, todos equiprováveis e sem ano bissexto. O conteúdo aqui é probabilidade composta e o uso da regra do complementar. Intuitivamente, 23 pessoas parecem poucas para gerar coincidência, mas veremos o resultado exato.

Passo 2

Calculemos antes a probabilidade de nenhuma coincidência, ou seja, de todos os aniversários serem em dias diferentes. Denotando essa probabilidade por Pdistintos, temos:
Pdistintos = 365365times364365times363365timescdotstimes365-22365 = prodi=0^22365 - i365
Fazendo a conta (por calculadora ou software), obtém-se
Pdistintosapprox 0,4927

Passo 3

Pela regra do complementar, a probabilidade de pelo menos uma coincidência é
Pcoincidência =1 - Pdistintos approx 1 - 0,4927 = 0,5073 ê
Como 0,5073>0,5, concluímos que é mais provável haver dois alunos com o mesmo aniversário do que não haver.

Resposta

A probabilidade de existirem dois alunos que façam aniversário no mesmo dia, numa turma de 23, é aproximadamente 0,5073. Logo, é mais provável que haja pelo menos um par de aniversários coincidentes. Intuitivamente pode parecer improvável, mas o cálculo mostra que passa de 50 %.

Exercícios relacionados