lim x infty (ln (x))^3x^2

Passo 1

Neste exercício queremos calcular
limxtoinfty(ln(x))^3x^2
O conteúdo aqui é limite de funções cujo numerador cresce como potência de logaritmo e o denominador como potência de x. Sabemos que x^2 cresce muito mais rápido que (ln x)^3, mas para justificar rigorosamente vamos usar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro verificamos a forma indeterminada. Quando xtoinfty temos ln(x)toinfty e x^2toinfty, então
(ln(x))^3x^2
é do tipo infty/infty. Aplicamos L’Hôpital derivando numerador e denominador:
– Numerador: ddx(ln x)^3=3(ln x)^2cdot1x
– Denominador: ddxx^2=2x
Logo obtemos
(ln(x))^3x^2 ;xrightarrow[L'Hôpital]; 3(ln x)^2,1x2x =3(ln x)^22x^2 ô

Passo 3

Ainda temos forma infty/infty, pois (ln x)^2toinfty e x^2toinfty. Aplicamos L’Hôpital mais duas vezes em sequência:
– Segunda aplicação:
Numerador: ddx3(ln x)^2=6ln xcdot1x
Denominador: ddx2x^2=4x
Resulta em 6ln x,1x4x=6ln x4x^2=3ln x2x^2.
– Terceira aplicação:
Numerador: ddx3ln x=3cdot1x
Denominador: ddx2x^2=4x
Resulta em
3,1x4x =34x^2

Passo 4

Agora 34x^2 tende a zero quando xtoinfty. Portanto
limxtoinfty(ln(x))^3x^2 = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados