O conteúdo aqui é limite de funções cujo numerador cresce como potência de logaritmo e o denominador como potência de . Sabemos que cresce muito mais rápido que , mas para justificar rigorosamente vamos usar o Teorema de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro verificamos a forma indeterminada. Quando temos e , então
é do tipo . Aplicamos L’Hôpital derivando numerador e denominador:
– Numerador:
– Denominador:
Logo obtemos
Passo 3
Ainda temos forma infty/infty, pois (ln x)^2toinfty e x^2toinfty. Aplicamos L’Hôpital mais duas vezes em sequência:
– Segunda aplicação:
Numerador: ddx3(ln x)^2=6ln xcdot1x
Denominador: ddx2x^2=4x
Resulta em 6ln x,1x4x=6ln x4x^2=3ln x2x^2.
– Terceira aplicação:
Numerador: ddx3ln x=3cdot1x
Denominador: ddx2x^2=4x
Resulta em
3,1x4x =34x^2
Passo 4
Agora 34x^2 tende a zero quando xtoinfty. Portanto